数字信号处理｜junhan’s blog

00 导论

[!summary] 核心主线 信息是内容，信号是载体，系统负责处理信号。 课程主要研究如何在时域、频域和复频域中描述、变换和分析信号与系统。

一、信号、信息与系统

消息（message）：来自外界的各种报道或内容。
信息（information）：消息中有意义的部分。
信号（signal）：承载、表现信息的物理量，也是系统实际加工和变换的对象，例如声音、电压、电流和电磁场。
系统（system）：由相互关联的部分组成、具有特定功能的整体。

信号处理系统可表示为：

$$ \text{输入信号（激励）}\longrightarrow\text{系统}\longrightarrow\text{输出信号（响应）} $$

信号与系统相互依存：信号需要系统产生、发送、传输和接收；系统则通过处理信号体现自身功能。

二、信号的分类

1. 按时间变量分类

连续时间信号 $x(t)$：在连续时间范围内有定义，允许存在有限个间断点。
离散时间信号 $x[n]$：只在规定的离散时刻有定义，可以由连续信号采样得到，也可能天然具有离散性。

2. 按时间和幅值是否连续分类

信号类型	时间	幅值
模拟信号	连续	连续
抽样信号	离散	连续
量化信号	连续	离散
数字信号	离散	离散

[!important] 易错点离散信号不一定是数字信号。只有时间和幅值都离散，才是数字信号。

几类信号的转换关系：

$$ \text{模拟信号}\xrightarrow{\text{采样}}\text{抽样信号} \xrightarrow{\text{量化}}\text{数字信号} $$

数字信号经过零阶保持和低通滤波，可以近似恢复为模拟信号。

3. 按可预测性分类

确定信号：变化规律已知，可以用明确的数学函数表示。
随机信号：不能准确预测每一时刻的取值，需要用概率分布和统计特性描述。

时间序列分析主要针对离散随机信号进行分析、建模和预测。

三、信号的描述方法

连续信号通常使用数学函数和波形图描述；离散信号还可以使用序列表达式、离散波形、数值列表和表格描述。

分析信号时，需要能够在公式、图像、序列和表格之间相互转换。

四、数字信号处理的典型流程

数字信号处理链路为：

$$ \text{模拟信号} \rightarrow\text{防混叠滤波} \rightarrow A/D \rightarrow\text{数字处理系统} \rightarrow D/A \rightarrow\text{平滑滤波} \rightarrow\text{模拟信号} $$

防混叠滤波器：限制输入信号的带宽，避免采样后发生频谱混叠。
A/D：完成采样、量化和编码。
数字处理系统：执行滤波、分析、识别、特征提取等运算。
D/A：把数字序列转换为连续时间形式。
平滑滤波器：抑制重建过程产生的高频成分。

五、数字信号处理的优缺点

优点

可重复性好；
灵活性高，可以通过修改程序改变功能；
稳定性好，不易受时间和环境变化影响；
抗干扰能力较强；
可以存储数据并完成复杂运算；
易于集成，通常体积小、成本低、可靠性高。

局限

可处理带宽受到采样率和硬件速度限制；
量化位数有限，动态范围受到限制；
运算需要时间，某些高速场景难以满足实时性要求。

六、时域、频域与滤波

时域：以时间 $t$ 或离散时间索引 $n$ 为自变量，观察信号怎样随时间变化。
频域：以频率为自变量，观察信号包含哪些频率成分。
频谱：信号的频域表示，描述各频率分量的幅度和相位。
滤波器：按照给定目的保留、削弱或改变信号中某些成分的系统。

傅里叶变换把信号从时域转换到频域，也可以看作一种从频率角度提取信号特征的方法。

七、复数基础

频域分析经常使用复数：

$$ z=x+jy=re^{j\omega} $$

其中：

$$ x=r\cos\omega,\qquad y=r\sin\omega $$

欧拉公式：

$$ e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t) $$

因此：

$$ \cos(\omega t)=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2} $$

$$ \sin(\omega t)=\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j} $$

复指数能简化正弦、余弦运算，是傅里叶分析、拉普拉斯变换和 Z 变换的重要数学基础。

八、课程知识框架

分析域	主要内容与工具
时域	信号分解、卷积、微分方程、差分方程
频域	FS、FT、DTFT、DFS、DFT、FFT
复频域	拉普拉斯变换、Z 变换、系统函数

信号变换的对应关系

连续周期信号：傅里叶级数（FS）；
连续非周期信号：傅里叶变换（FT）；
离散周期信号：离散傅里叶级数（DFS）；
离散非周期信号：离散时间傅里叶变换（DTFT）；
有限长离散序列的计算：离散傅里叶变换（DFT）；
DFT 的高效计算算法：快速傅里叶变换（FFT）；
连续信号的复频域分析：拉普拉斯变换（LT）；
离散信号的复频域分析：Z 变换（ZT）。

LTI 系统的四种分析方法

经典方法：求解微分方程或差分方程；
卷积方法：通过单位脉冲响应分析系统；
频域方法：分析系统的频率响应，用于通信、采样和滤波器设计；
复频域方法：利用 LT、ZT 简化方程求解并研究系统函数。

九、应用领域

声学与语音：数字音频、语音识别；
无线通信：回波对消、自适应均衡、视频会议；
军事：雷达、声呐、保密通信；
生物医学：助听器、心电图和脑电图分析；
现代通信：高速率、低延迟和大容量通信。

十、信号处理与人工智能

二者存在双向联系：既可以使用人工智能解决信号处理问题，也可以使用信号处理方法理解和改进人工智能模型。

信号卷积 ↔ 卷积神经网络；
信号表示与变换 ↔ 主成分分析；
滤波 ↔ 图神经网络的信息传播；
频域分析 ↔ 模型训练过程和泛化能力；
频域变换 ↔ 数据增强和分类模型设计；
随机傅里叶特征 ↔ 大规模核函数近似。

十一、期末复习重点

信号是信息的载体，系统完成对信号的变换。
“连续/离散”描述时间变量，“模拟/数字”还涉及幅值是否连续。
数字处理链路：防混叠滤波 → A/D → 数字处理 → D/A → 平滑滤波。
时域观察信号随时间的变化，频域观察信号的频率成分。
LTI 系统可以通过方程、卷积、频域和复频域四条路线分析。
FS、FT、DTFT、DFS、DFT、FFT、LT、ZT 是后续课程的主干工具。

课程信息

考评：平时成绩 + 期末考试；
平时成绩：4～5 次作业；
期末考试：闭卷。

参考来源

谢晋《数字信号处理》课件：00-导论.pdf；
课件参考奥本海姆《信号与系统》《离散时间信号处理》等教材与相关课程资料。

01 信号的时域分析

[!summary] 本章主线从时间轴上研究信号：先判断信号的类别，再掌握尺度、翻转、时移等运算，随后学习典型信号和冲激信号，最后把一般信号分解成简单基信号的组合。

一、周期信号

连续时间信号的周期条件：存在 $T>0$，使得

$$ x(t+T)=x(t),\qquad \forall t\in\mathbb R. $$

满足条件的最小正数 $T_0$ 称为基波周期。离散时间信号的周期条件：存在正整数 $N$，使得

$$ x[n+N]=x[n],\qquad \forall n\in\mathbb Z. $$

最小正整数 $N_0$ 为基波周期。

周期信号相加

若两个连续周期信号的周期分别为 $T_1,T_2$，则它们的和为周期信号的条件是

$$ \frac{T_1}{T_2}\in\mathbb Q. $$

此时总周期是二者的最小公倍周期。若周期之比为无理数，则和信号一般非周期。

离散正弦/复指数序列的周期性

$$ x[n]=e^{j\omega_0n} $$

为周期序列，当且仅当存在正整数 $N,m$ 满足

$$ \omega_0N=2\pi m, $$

也就是 $\omega_0/(2\pi)$ 为有理数。基波周期是满足该式的最小正整数 $N$。

离散频率还有两条重要性质：

$$ e^{j(\omega_0+2k\pi)n}=e^{j\omega_0n}, $$

所以离散时间频率以 $2\pi$ 为周期；频率通常只需在任意长度为 $2\pi$ 的区间内讨论。与连续信号不同，$\omega_0$ 越大不一定振荡越快，频率接近 $2\pi$ 时会与低频序列等价。

二、能量信号与功率信号

连续信号的能量与平均功率：

$$ W=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2,dt, $$

$$ P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2,dt. $$

离散信号：

$$ W=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2, $$

$$ P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2. $$

能量信号：$0<W<\infty$，且 $P=0$。
功率信号：$W=\infty$，且 $0<P<\infty$。
一个非零信号不可能同时是能量信号和功率信号，也可能二者都不是。
非零周期信号、直流信号通常是功率信号。

[!important] 易错点 “非周期信号”不等于“能量信号”。非周期信号可能是能量信号、功率信号，也可能二者都不是。

三、信号的基本运算

1. 尺度变换

$$ x(t)\rightarrow x(at) $$

$|a|>1$：时间轴压缩；
$0<|a|<1$：时间轴扩展；
$a<0$：除展缩外还发生时间翻转。

2. 翻转与时移

$x(-t)$：以纵轴为中心翻转；
$x(t-t_0)$：右移 $t_0$；
$x(t+t_0)$：左移 $t_0$。

离散信号对应为 $x[-n]$、$x[n-k]$ 和 $x[n+k]$。

3. 复合变换的画图方法

对于 $x(at+b)$，可以先整理成

$$ x\left[a\left(t+\frac ba\right)\right], $$

再根据横坐标映射求关键点。最稳妥的方法是令

$$ t'=at+b, $$

将原信号每个关键点 $t'$ 映射到新位置 $t=(t'-b)/a$，最后按新横坐标排序连接。这样可以避免“先移还是先缩”的混乱。

4. 离散尺度变换

抽取：$x[n]\rightarrow x[Mn]$，每隔 $M-1$ 点保留一点；
内插：在原序列相邻样本之间插入 $L-1$ 个零。

四、常见连续时间信号

直流信号：$x(t)=A$；
正弦信号：$x(t)=A\sin(\omega_0t+\varphi)$，周期 $T_0=2\pi/|\omega_0|$；
实指数信号：$x(t)=Ae^{\alpha t}$；
复指数信号：$x(t)=Ae^{st}$，其中 $s=\sigma+j\omega_0$；
抽样信号：

$$ \operatorname{Sa}(t)=\frac{\sin t}{t},\qquad \operatorname{Sa}(0)=1, $$

常用归一化形式为

$$ \operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}. $$

复指数信号可写为

$$ Ae^{(\sigma+j\omega_0)t} =Ae^{\sigma t}\left[\cos(\omega_0t)+j\sin(\omega_0t)\right]. $$

$\sigma<0$ 时振幅指数衰减，形成阻尼振荡。

五、常见离散时间序列

单位脉冲序列

$$ \delta[n]= \begin{cases} 1,&n=0,\ 0,&n\ne0. \end{cases} $$

筛选性质：

$$ x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\delta[n-n_0]. $$

任意离散序列均可分解为

$$ x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]. $$

单位阶跃序列

$$ u[n]= \begin{cases} 1,&n\ge0,\ 0,&n<0. \end{cases} $$

单位阶跃与单位脉冲的关系：

$$ \delta[n]=u[n]-u[n-1], $$

$$ u[n]=\sum_{k=0}^{\infty}\delta[n-k] =\sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k]. $$

其他序列

长度为 $N$ 的矩形序列：$r_N[n]=u[n]-u[n-N]$；
斜变序列：$r[n]=nu[n]$；
实指数序列：$x[n]=Ar^n$；
复指数序列：$x[n]=Az^n$。

差分与求和

前向差分：

$$ \Delta x[n]=x[n+1]-x[n]. $$

后向差分：

$$ \nabla x[n]=x[n]-x[n-1]. $$

二阶后向差分：

$$ \nabla^2x[n]=x[n]-2x[n-1]+x[n-2]. $$

累加：

$$ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]. $$

六、连续时间奇异信号

1. 单位斜变与单位阶跃

$$ r(t)=tu(t). $$

单位阶跃：

$$ u(t)= \begin{cases} 1,&t>0,\ 0,&t<0. \end{cases} $$

$u(0)$ 的取值依约定而定，通常不影响积分结果。阶跃信号可用于表示信号开启、矩形窗和信号截断。

2. 单位冲激信号

狄拉克冲激满足

$$ \delta(t)=0\quad(t\ne0),\qquad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t),dt=1. $$

抽样性质：

$$ x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0), $$

$$ \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-t_0),dt=x(t_0). $$

展缩性质：

$$ \delta(at+b)=\frac{1}{|a|}\delta\left(t+\frac ba\right),\qquad a\ne0. $$

[!warning] 高频易错点冲激信号缩放必须除以 $|a|$，不是 $a$。若冲激的自变量不是标准的 $t-t_0$，应先用展缩性质化简，再使用抽样性质。

连续信号的冲激分解：

$$ x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau),d\tau. $$

3. 冲激偶 $\delta'(t)$

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\delta'(t),dt=0, \qquad \delta'(-t)=-\delta'(t). $$

抽样性质：

$$ \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta'(t-t_0),dt=-x'(t_0). $$

乘积性质：

$$ x(t)\delta'(t-t_0) =x(t_0)\delta'(t-t_0)-x'(t_0)\delta(t-t_0). $$

展缩时需要特别注意符号；统一形式为

$$ \delta'(at)=\frac{1}{a|a|}\delta'(t). $$

七、微分与积分的作用

微分突出信号的突变和边缘，具有锐化作用；阶跃的导数会产生冲激。
积分累积并平滑信号，具有模糊作用，也能削弱部分高频噪声。

典型关系：

$$ \frac{d}{dt}u(t)=\delta(t),\qquad \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau),d\tau=u(t). $$

八、信号的向量表示与正交分解

可把信号看成无限维向量。两个实信号的内积可定义为

$$ \langle x_1,x_2\rangle =\int_{t_1}^{t_2}x_1(t)x_2(t),dt. $$

$L_2$ 范数平方等于信号能量：

$$ |x|_2^2=\int|x(t)|^2,dt. $$

若使用 $g(t)$ 近似 $x(t)$，使均方误差最小的投影系数为

$$ c=\frac{\langle x,g\rangle}{\langle g,g\rangle}. $$

若 $\langle g_i,g_j\rangle=0\ (i\ne j)$，则它们构成正交函数集。展开系数为

$$ c_k=\frac{\langle x,g_k\rangle}{|g_k|_2^2}. $$

对于完备正交集，帕塞瓦尔关系说明信号总能量等于各正交分量能量之和。傅里叶级数和傅里叶变换正是这种正交分解思想的重要应用。

九、常用信号分解

直流分量与交流分量

$$ x(t)=x_{DC}+x_{AC}(t), $$

其中有限区间 $[a,b]$ 上的平均值为

$$ x_{DC}=\frac{1}{b-a}\int_a^b x(t),dt. $$

偶分量与奇分量

$$ x(t)=x_e(t)+x_o(t), $$

$$ x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2},\qquad x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}. $$

实部与虚部

$$ \operatorname{Re}x(t)=\frac{x(t)+x^*(t)}{2}, $$

$$ \operatorname{Im}x(t)=\frac{x(t)-x^*(t)}{2j}. $$

十、本章复习清单

会判断连续与离散正弦信号是否周期，并求基波周期。
会根据定义判断能量信号、功率信号或二者都不是。
会画 $x(at+b)$，尤其注意负尺度带来的翻转。
熟记 $\delta$、$u$、$r$ 之间的微分、积分关系。
熟练使用冲激的抽样性质与展缩性质。
会把信号分解为移位冲激、奇偶分量和正交分量。

02 系统的时域分析

[!summary] 本章主线对 LTI 系统，只要知道单位冲激响应 $h$，就知道系统对任意输入的响应。连接输入 $x$、系统 $h$ 与输出 $y$ 的核心运算就是卷积：$y=x*h$。

一、系统的描述与互联

系统可以用以下方式描述：

输入—输出微分方程或差分方程；
状态空间模型；
方框图。

连续系统通常由微分方程描述，离散系统通常由差分方程描述。方框图的基本模块包括加法器、数乘器、积分器和单位延时器。

系统常见互联方式：

级联：一个系统的输出作为下一个系统的输入；
并联：多个系统处理同一输入，输出相加；
反馈：将部分输出送回输入端。

二、系统的基本性质

1. 记忆性

无记忆系统：$y(t_0)$ 只依赖 $x(t_0)$；
记忆系统：输出依赖过去或未来时刻的输入。

例如 $y[n]=x[n-1]$、累加器和积分器都有记忆。

2. 可逆性

不同输入产生不同输出时，系统可逆。若系统 $T$ 存在逆系统 $T^{-1}$，则

$$ T^{-1}{T{x}}=x. $$

例如累加器的逆系统是差分器：

$$ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k] \quad\Longrightarrow\quad x[n]=y[n]-y[n-1]. $$

3. 因果性

因果系统当前输出只依赖当前和过去输入，不能依赖未来输入。若表达式中出现 $x(t+1)$ 或 $x[n+1]$，通常为非因果系统。

4. 稳定性

BIBO 稳定：每个有界输入都产生有界输出。

5. 线性

系统 $T$ 线性，当且仅当同时满足齐次性和可加性：

$$ T{ax_1+bx_2}=aT{x_1}+bT{x_2}. $$

判断时要对任意输入和任意常数验证；只满足齐次性或只满足可加性都不够。

6. 时不变性

若

$$ T{x(t)}=y(t), $$

则时不变性要求

$$ T{x(t-t_0)}=y(t-t_0). $$

离散形式同理。判定时应分别计算“先移输入再过系统”和“先过系统再移输出”，比较结果是否相同。

三、LTI 系统与单位冲激响应

任意离散序列都可以分解为移位单位脉冲之和：

$$ x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]. $$

设 LTI 系统对 $\delta[n]$ 的响应为 $h[n]$。根据时不变性，对 $\delta[n-k]$ 的响应为 $h[n-k]$；再根据线性，任意输入的响应为

$$ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k] =x[n]*h[n]. $$

连续时间形式：

$$ y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau),d\tau =x(t)*h(t). $$

[!important] 核心结论单位冲激响应 $h$ 完整刻画 LTI 系统。卷积不是孤立的数学技巧，而是“脉冲分解 + 时不变移位 + 线性叠加”的结果。

四、卷积的计算

图解法：翻、移、乘、积（或求和）

以连续卷积为例：

将 $x(t),h(t)$ 的自变量改为积分变量 $\tau$；
将其中一个信号翻转，例如 $h(\tau)\to h(-\tau)$；
平移得到 $h(t-\tau)$；
与 $x(\tau)$ 相乘；
对重叠区域积分；
随 $t$ 改变，分段写出结果。

离散卷积将最后的积分替换为求和。

[!warning] 易错点翻转和平移后的对象应是 $h(t-\tau)$ 或 $h[n-k]$。计算上下限时，应求两个信号支撑区间的交集，不能只凭图形猜测。

有限长序列卷积

若两个有限序列长度分别为 $L_x,L_h$，完整线性卷积的长度为

$$ L_y=L_x+L_h-1. $$

输出起点索引等于两个输入序列起点索引之和。可用表格法、对角线求和法或 Toeplitz 矩阵法计算。

五、卷积的性质

交换律

$$ xh=hx. $$

结合律

$$ (xh_1)h_2=x(h_1h_2). $$

分配律

$$ x*(h_1+h_2)=xh_1+xh_2. $$

位移性质

若 $x(t)*h(t)=y(t)$，则

$$ x(t-t_1)*h(t-t_2)=y(t-t_1-t_2). $$

离散形式相同。

尺度性质

$$ x(at)*h(at)=\frac{1}{|a|}y(at). $$

微分/积分性质

$$ \frac{d}{dt}(x*h)=x'h=xh'. $$

卷积结果的积分也可以转移到任意一个卷积因子上。离散系统中对应为差分和累加性质。

六、常用特殊卷积

$$ x(t)*\delta(t)=x(t), $$

$$ x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0), $$

$$ x(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau),d\tau, $$

$$ u(t)*u(t)=tu(t)=r(t), $$

$$ x(t)*\delta'(t)=x'(t). $$

这些关系可以把复杂的分段卷积转化为平移、微分或积分运算。

七、利用 $h$ 判断 LTI 系统性质

性质	连续时间条件	离散时间条件
无记忆	$h(t)=c\delta(t)$	$h[n]=c\delta[n]$
因果	$h(t)=0,\ t<0$	$h[n]=0,\ n<0$
BIBO 稳定	$\int_{-\infty}^{\infty}	h(t)
可逆	存在 $h^{-1}$，使 $h*h^{-1}=\delta$	同左

例如因果系统 $h(t)=e^{at}u(t)$ 仅在 $a<0$ 时绝对可积，因此仅在 $a<0$ 时 BIBO 稳定。

八、系统互联的冲激响应

级联系统：

$$ h_{eq}=h_1*h_2. $$

并联系统：

$$ h_{eq}=h_1+h_2. $$

由卷积交换律可知，LTI 子系统的级联顺序不影响总冲激响应。

九、解卷积

若

$$ y=x*h, $$

则：

已知 $x,y$ 求 $h$：系统辨识；
已知 $h,y$ 求 $x$：信号估计或恢复。

有限离散序列可利用卷积矩阵反求，但实际问题中噪声和矩阵病态性可能使直接求逆不稳定。

十、卷积与相关

卷积：

$$ (x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau),d\tau. $$

互相关用于衡量两个信号在不同位移下的相似程度。对实信号，一种课件约定为

$$ (x\star h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(\tau+t),d\tau. $$

它等价于将其中一个信号翻转后做卷积：

$$ x\star h=x(-t)*h(t). $$

对于复信号，相关通常还要对其中一个信号取共轭。互相关一般不满足交换律，但满足带时间反转/共轭的对称关系。

十一、本章复习清单

会判断系统的记忆性、因果性、线性、时不变性和稳定性。
能从方框图写出微分方程或差分方程。
理解为什么 LTI 系统输出等于 $x*h$。
熟练使用图解法、表格法和性质法计算卷积。
熟记通过 $h$ 判断 LTI 系统因果性和稳定性的充要条件。
分清卷积与相关：卷积用于 LTI 系统响应，相关主要衡量相似性和估计时延。

02 补充：LoG 与 DoG 滤波器

一、从导数到边缘检测

图像灰度发生突变的位置对应边缘：

一阶导数在边缘处出现峰或谷；
二阶导数在边缘附近发生零交叉。

一维二阶差分可用模板

$$ [1,-2,1] $$

近似。二维图像的拉普拉斯算子为

$$ \nabla^2I=I_{xx}+I_{yy}. $$

拉普拉斯是标量，可以用单个模板计算，但会丢失边缘方向信息；二阶导数还会显著放大噪声。

二、LoG：高斯拉普拉斯

为了降低噪声敏感性，先用高斯滤波器平滑，再计算拉普拉斯：

$$ \operatorname{LoG}(I) =\nabla^2(IG_\sigma) =I(\nabla^2G_\sigma). $$

处理流程：

高斯平滑抑制高频噪声；
拉普拉斯突出灰度变化；
在响应中检测零交叉以定位边缘；
实际应用中通常还需设置对比度阈值，避免把平坦区域的数值零点误判为边缘。

LoG 的二维形状类似“墨西哥帽”，具有带通特性：既抑制低频缓慢变化，也通过高斯平滑抑制极高频噪声。

三、尺度参数 $\sigma$

$\sigma$ 小：保留细节，能够检测较小结构，但对噪声更敏感；
$\sigma$ 大：平滑更强，检测尺度更大的结构，但细小边缘可能消失。

LoG 零交叉通常形成闭合轮廓；可以把 LoG 响应看成具有正负“高度”的曲面，零交叉就是高度为零的等高线。

四、LoG 的斑点检测

LoG 不仅能找边缘，还能检测 blob：

响应极大值可对应亮背景中的暗斑；
响应极小值可对应暗背景中的亮斑；
$\sigma$ 决定响应的空间尺度，应在位置—尺度空间中寻找局部极值。

使用尺度归一化的 LoG 时，常以 $\sigma^2\nabla^2G$ 比较不同尺度的响应。

五、DoG：高斯差分

不同尺度的两个高斯滤波结果之差可以近似 LoG：

$$ \operatorname{DoG}(x,y) =G_{k\sigma}(x,y)-G_\sigma(x,y) \approx C\sigma^2\nabla^2G_\sigma(x,y). $$

DoG 的优势：

高斯滤波可分离，计算效率高；
不同尺度的高斯结果可以级联复用；
适合构建尺度空间并寻找斑点极值。

六、其他应用

拉普拉斯金字塔：保存相邻高斯金字塔层之间的预测残差；
图像压缩与编码：粗尺度图像加各层残差可重建细尺度图像；
局部模板匹配：滤波响应可以理解为模板与局部图像区域的相似程度。

[!important] LoG/DoG 对比 LoG 是“先高斯平滑，再做二阶导数”；DoG 是“两个高斯尺度结果相减”，用于高效近似 LoG。

02 补充：二维卷积、互相关与卷积神经网络

一、二维卷积与互相关

给定图像 $X\in\mathbb R^{M\times N}$ 和核 $W\in\mathbb R^{m\times n}$：

数学卷积：核需要在上下、左右两个方向翻转，相当于旋转 $180^\circ$ 后滑动；
互相关：核不翻转，直接与局部窗口逐元素相乘并求和。

因此，互相关常被称为“不翻转的卷积”。许多深度学习框架中名为 conv 的操作实际实现的是互相关；由于卷积核参数通过学习获得，这通常不影响网络表达能力。

二、步长、填充与输出尺寸

一维输入长度 $n$、核大小 $m$、步长 $s$、两端各补 $p$ 个零时，输出长度为

$$ n_{out}=\left\lfloor\frac{n-m+2p}{s}\right\rfloor+1. $$

二维时分别对高度和宽度使用同样公式。

窄卷积（valid/narrow）：$s=1,p=0$，输出长度 $n-m+1$；
宽卷积（full/wide）：$s=1,p=m-1$，输出长度 $n+m-1$；
等长卷积（same/equal-width）：$s=1$ 且奇数核取 $p=(m-1)/2$，输出与输入等长。

三、多通道卷积层

输入

$$ X\in\mathbb R^{M\times N\times D}, $$

若输出包含 $P$ 个特征图，则卷积核张量为

$$ W\in\mathbb R^{m\times n\times D\times P}. $$

第 $p$ 个输出特征图：

$$ Z^p=\sum_{d=1}^{D}W^{p,d}\otimes X^d+b^p, \qquad Y^p=f(Z^p). $$

参数量为

$$ P\cdot D\cdot m\cdot n+P. $$

参数共享使卷积层远少于同规模全连接层的参数，并让同一局部特征可在不同位置被检测。

四、汇聚层

汇聚对局部区域下采样，常见形式：

最大汇聚；
平均汇聚。

主要作用：减少特征尺寸和计算量、扩大后续单元的感受野，并提高对小幅局部形变的鲁棒性。汇聚也会丢失空间细节，因此现代网络有时用步长卷积替代。

五、反向传播中的卷积

若 $Y=W\otimes X$，则：

损失对卷积核 $W$ 的梯度，可由输入 $X$ 与输出误差做相应卷积/互相关得到；
损失对输入 $X$ 的梯度，需要对核进行 $180^\circ$ 翻转并与误差做宽卷积；
偏置梯度是对应输出误差项的总和。

核心直觉是：前向传播可写成稀疏 Toeplitz 矩阵乘法，反向传播则使用该矩阵的转置。

六、典型 CNN 结构与训练技巧

典型结构：

$$ \text{输入}\rightarrow\text{卷积}\rightarrow\text{ReLU} \rightarrow\text{汇聚}\rightarrow\cdots \rightarrow\text{全连接}\rightarrow\text{Softmax}. $$

LeNet-5：早期成功的手写数字识别网络；
AlexNet：推动深度 CNN 在大规模图像分类中的应用；
ResNet：使用残差连接

$$ h(x)=x+f(x), $$

改善深层网络的信息和梯度传播。

动量法

动量累积历史更新方向，使优化路径更平滑：

$$ d_t=\beta d_{t-1}+g(\theta_{t-1}), \qquad \theta_t=\theta_{t-1}-\alpha d_t. $$

Dropout

训练时按概率随机舍弃部分神经元，减少神经元共适应并缓解过拟合。推理时需要采用与训练规则一致的尺度补偿；现代“inverted dropout”通常在训练阶段直接缩放，推理时无需再乘保留概率。

ReLU 与 Leaky ReLU

$$ \operatorname{ReLU}(x)=\max(0,x). $$

优点是计算简单并有利于梯度传播；缺点是负半轴梯度为零，可能出现“死亡 ReLU”。Leaky ReLU 在负半轴保留小斜率：

$$ f(x)=\max(0,x)+a\min(0,x),\qquad a>0. $$

七、卷积变体

1. 转置卷积

将普通卷积写成矩阵形式 $z=Cx$，转置卷积执行

$$ x'=C^Tz. $$

它可以提高空间分辨率，但不是普通卷积的逆运算，也不保证恢复原输入。

2. 微步/分数步长转置卷积

若对应普通卷积步长 $s>1$，转置卷积可在输入元素之间插入 $s-1$ 个零，再进行步长为 1 的卷积，从而放大特征图。

3. 空洞卷积

在核元素之间插入间隔，不增加参数量即可扩大感受野。核大小 $m$、膨胀率 $d$ 时，有效核大小为

$$ m_{eff}=m+(m-1)(d-1). $$

八、卷积与互相关的选择

场景	更常见的运算	原因
LTI 系统输出	卷积	冲激响应叠加自然导出卷积
模板匹配、相似度、时延估计	互相关	不翻转模板，更直观地比较局部相似性
CNN 前向传播	通常为互相关	核由训练学习，是否预先翻转不影响表达能力
CNN 对输入反向传播	翻转核的宽卷积	来自线性算子的转置

九、补充材料复习清单

分清真正的数学卷积与深度学习框架中的“卷积”。
熟练计算含步长和零填充的输出尺寸。
会计算多通道卷积层的参数量。
理解汇聚、残差连接、Dropout、ReLU 的功能。
明确转置卷积不是逆卷积。
会计算空洞卷积的有效核大小。

本次材料来源

01-信号的时域分析.pdf；
02-系统的时域分析.pdf；
02-补充材料 1：LoG and DoG Filters.pdf；
02-补充材料 3：卷积与互相关.pdf。

03 系统的时域分析：微分方程与差分方程

[!summary] 本章主线连续系统用微分方程描述，离散系统用差分方程描述。完全响应既可以写成“齐次解 + 特解”，也可以按物理来源拆成“零输入响应 + 零状态响应”。

一、系统的数学模型

常系数线性微分方程的一般形式为

$$ \sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^ky(t)}{dt^k} =\sum_{k=0}^{M}b_k\frac{d^kx(t)}{dt^k}. $$

当系统由参数恒定的线性元件组成时，通常可以建立这种模型。若系统起始无储能，方程所描述的输入输出映射可构成 LTI 系统。

后向线性常系数差分方程的一般形式为

$$ \sum_{i=0}^{N}a_i y[n-i] =\sum_{j=0}^{M}b_jx[n-j]. $$

只依赖当前及过去输入的模型常与 MA（Moving Average）模型相关；
依赖过去输出的递归模型常与 AR（Auto Regressive）模型相关；
同时含过去输入和过去输出时可形成 ARMA 类型模型。

[!warning] 注意 LTI 系统可以由常系数线性微分/差分方程描述，但仅给出方程还不一定唯一确定一个 LTI 系统；还需指定一致的初始条件约定。非零初始状态可能破坏输入输出映射的线性。

二、连续时间微分方程的经典解法

完全解由齐次解和特解组成：

$$ y(t)=y_h(t)+y_p(t). $$

求解步骤：

令输入相关项为零，求齐次解；
根据激励形式设特解；
将特解代回方程求待定系数；
使用初始条件确定齐次解系数。

1. 齐次解

对于齐次方程

$$ \sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^ky_h(t)}{dt^k}=0, $$

令 $y_h(t)=Ae^{\lambda t}$，得到特征方程

$$ \sum_{k=0}^{N}a_k\lambda^k=0. $$

不同实根 $\lambda_i$：

$$ y_h(t)=\sum_i A_i e^{\lambda_i t}. $$

$r$ 重根 $\lambda$：对应项为

$$ (A_0+A_1t+\cdots+A_{r-1}t^{r-1})e^{\lambda t}. $$

共轭复根 $\lambda=\sigma\pm j\omega$：实形式为

$$ e^{\sigma t}(C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t). $$

特征根决定系统的固有变化形式：实部控制增长或衰减，虚部控制振荡频率。

2. 特解的设定

激励形式	常用特解形式
常数	常数
$t^p$	$p$ 次多项式
$e^{at}$	$Be^{at}$
$\cos\omega t$ 或 $\sin\omega t$	$B_1\cos\omega t+B_2\sin\omega t$
$t^pe^{at}\cos\omega t$	同阶多项式乘 $e^{at}\cos\omega t$ 与 $e^{at}\sin\omega t$

若所设特解与齐次解重复，必须乘以足够次的 $t$。例如 $a$ 是特征方程的 $r$ 重根，而激励含 $e^{at}$，则试探特解应额外乘 $t^r$。

三、离散时间差分方程的经典解法

对于齐次差分方程

$$ \sum_{i=0}^{N}a_i y_h[n-i]=0, $$

令 $y_h[n]=C\lambda^n$，得到特征方程。若根互异：

$$ y_h[n]=\sum_i C_i\lambda_i^n. $$

若 $\lambda$ 是 $r$ 重根，则对应项为

$$ (C_0+C_1n+\cdots+C_{r-1}n^{r-1})\lambda^n. $$

差分方程的特解形式与微分方程类似：多项式对应多项式，指数 $a^n$ 对应 $Ca^n$，正弦激励对应正弦与余弦的组合。若与齐次解重复，应乘相应次数的 $n$。

给定足够的历史值后，也可直接递推求输出；但要求闭式表达式时仍需使用“齐次解 + 特解”。

四、初始条件与初始松弛

$N$ 阶连续系统需要 $N$ 个独立初始状态量，例如

$$ y(0),y'(0),\ldots,y^{(N-1)}(0). $$

激励在 $t=0$ 接入时，必须区分 $0^-$ 与 $0^+$：

$0^-$ 表示激励接入前的状态；
$0^+$ 表示激励接入后的瞬时状态；
若输入含阶跃、冲激或其导数，$y$ 或其导数可能发生跳变。

跳变可用奇异函数匹配法判断：比较微分方程两侧的 $\delta(t)$、$\delta'(t)$ 等奇异项系数。

初始松弛表示系统在激励接入前没有储能：

$$ y(0^-)=y'(0^-)=\cdots=y^{(N-1)}(0^-)=0. $$

离散因果系统通常取接入时刻之前的输出状态为零。

五、两种响应分解方式

1. 自由响应与强迫响应

$$ y(t)=y_h(t)+y_p(t). $$

自由响应：齐次解，形式由系统特征根决定；
强迫响应：特解，形式由外部激励决定。

自由响应的形式与输入无关，但其系数在求完全响应时可能同时受到初始条件和激励影响。

2. 零输入响应与零状态响应

$$ y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t). $$

零输入响应 $y_{zi}$：令输入为零，仅由初始储能产生；必为齐次解。
零状态响应 $y_{zs}$：令初始状态为零，仅由输入产生；通常包含一部分齐次形式和特解。

[!important] 两种分解不能混同自由响应不一定等于零输入响应，强迫响应也不一定等于零状态响应。前者按“数学形式”分，后者按“响应来源”分。

六、卷积法求系统响应

对于 LTI 系统，零状态响应为

$$ y_{zs}(t)=x(t)*h(t), $$

或

$$ y_{zs}[n]=x[n]*h[n]. $$

因此完全响应为

$$ y(t)=y_{zi}(t)+x(t)*h(t). $$

经典法适合直接求方程的完全解；卷积法突出系统的物理结构，并且同一个 $h$ 可以处理不同输入。

七、由方程求冲激响应

求因果 LTI 系统的 $h$：

将输入设为 $\delta$；
因果性给出 $h(t)=0\ (t<0)$ 或 $h[n]=0\ (n<0)$；
求相应微分/差分方程；
用冲激接入点附近的条件确定系数。

例如离散系统

$$ y[n]+3y[n-1]+2y[n-2]=x[n] $$

的因果冲激响应满足

$$ h[n]+3h[n-1]+2h[n-2]=\delta[n]. $$

由因果初值 $h[-1]=h[-2]=0$，可得

$$ h[n]=\left[-(-1)^n+2(-2)^n\right]u[n]. $$

八、本章复习清单

会由物理系统或方框图建立常系数微分/差分方程。
会根据特征根写齐次解，尤其是重根和共轭复根。
会按激励形式设特解，并处理与齐次解重复的情况。
分清 $0^-$、$0^+$ 与初始松弛条件。
分清“自由 + 强迫”和“零输入 + 零状态”两种分解。
会用 $y=y_{zi}+x*h$ 求完全响应。
会由差分方程、因果条件和单位脉冲输入求 $h[n]$。

04 信号的傅里叶级数

[!summary] 本章主线周期信号可以表示为基频及其整数倍频率的正弦/复指数分量之和。傅里叶级数系数就是信号在正交基上的投影，也是周期信号的离散频谱。

一、复指数是 LTI 系统的特征信号

若输入为 $e^{j\omega t}$，则

$$ e^{j\omega t}*h(t) =e^{j\omega t}\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-j\omega\tau},d\tau =H(j\omega)e^{j\omega t}. $$

输出仍是同频率复指数，只改变复振幅。因此，把一般信号分解成复指数分量后，可以逐频率研究系统作用。

二、正交基与基频

周期为 $T$ 的信号，基波角频率为

$$ \omega_0=\frac{2\pi}{T}. $$

在任意长度为 $T$ 的区间上，以下函数构成正交族：

$$ 1,\ \cos(n\omega_0t),\ \sin(n\omega_0t),\qquad n=1,2,\ldots $$

也可以使用复指数正交族

$$ e^{jn\omega_0t},\qquad n\in\mathbb Z. $$

三、三角形式傅里叶级数

本课件采用的常数项记法为

$$ x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]. $$

系数为

$$ a_0=\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}x(t),dt, $$

$$ a_n=\frac2T\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)\cos(n\omega_0t),dt, $$

$$ b_n=\frac2T\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)\sin(n\omega_0t),dt. $$

也可以合并成幅相形式：

$$ x(t)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty}c_n\cos(n\omega_0t+\varphi_n), $$

其中

$$ c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}, \qquad \varphi_n=\operatorname{atan2}(-b_n,a_n). $$

[!warning] 系数约定有些教材把常数项写成 $a_0/2$。本课件直接写 $a_0$，因此使用公式时必须先确认采用哪一种约定。

四、指数形式傅里叶级数

合成公式：

$$ x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_n e^{jn\omega_0t}. $$

分析公式：

$$ X_n=\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t},dt. $$

两种形式之间的关系：

$$ X_0=a_0, $$

$$ X_n=\frac{a_n-jb_n}{2},\qquad X_{-n}=\frac{a_n+jb_n}{2},\quad n>0. $$

反过来：

$$ a_n=X_n+X_{-n}, \qquad b_n=j(X_n-X_{-n}). $$

五、频谱的含义

$X_n$ 是频率 $n\omega_0$ 的函数，其模和相角分别构成：

幅度频谱 $|X_n|$；
相位频谱 $\arg X_n$。

周期信号的频谱具有三个典型特征：

离散性：只在 $n\omega_0$ 处有谱线；
谐波性：所有频率都是基频的整数倍；
收敛性：一般情况下 $|X_n|$ 随 $|n|$ 增大而衰减。

信号周期越大，$\omega_0$ 越小，谱线越密；周期越小，谱线越疏。

六、收敛与吉布斯现象

常用 Dirichlet 充分条件：一个周期内

信号绝对可积；
只有有限个有限间断点；
只有有限个极大值和极小值。

在连续点，傅里叶级数收敛到 $x(t)$；在跳变点 $t_0$，收敛到左右极限的平均值：

$$ \frac{x(t_0^-)+x(t_0^+)}{2}. $$

用有限项逼近不连续信号时，跳变附近出现振荡和过冲。随着项数增加，振荡区域变窄，但最大过冲不会消失，约为跳变量的 $9%$，这就是 Gibbs 现象。

七、利用对称性简化计算

偶信号

若 $x(t)=x(-t)$：

$b_n=0$，只含直流和余弦项；
对实偶信号，$X_n$ 为实偶序列。

奇信号

若 $x(t)=-x(-t)$：

$a_0=a_n=0$，只含正弦项；
对实奇信号，$X_n$ 为纯虚奇序列。

半波反对称

若

$$ x\left(t+\frac T2\right)=-x(t), $$

则直流和偶次谐波为零，只保留奇次谐波。

半周期重复

若

$$ x\left(t+\frac T2\right)=x(t), $$

说明实际基波周期可能是 $T/2$；用周期 $T$ 展开时只出现偶次谐波。

某些信号去掉直流分量或适当平移后才呈现对称性，也可以据此减少积分量。

八、帕塞瓦尔定理

周期信号的平均功率为

$$ P=\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}|x(t)|^2,dt. $$

指数形式下：

$$ P=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|X_n|^2. $$

三角形式下：

$$ P=a_0^2+\frac12\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2). $$

它表示总平均功率等于直流、基波和各次谐波平均功率之和。

九、周期矩形脉冲的典型结果

设周期为 $T$、幅度为 $A$、脉宽为 $\tau$，脉冲在每个周期内关于原点对称，则

$$ X_n=\frac{A\tau}{T} \operatorname{Sa}\left(\frac{n\omega_0\tau}{2}\right), \qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T}. $$

其谱线位于 $n\omega_0$，包络为 Sa 函数。主要频谱集中在零频附近到第一个过零点之间，因此有效带宽量级与脉宽成反比：

$$ B\propto\frac1\tau. $$

脉冲越窄，频谱越宽；
波形越不平滑，高次谐波越多，谱衰减越慢；
跳变信号常按 $1/|n|$ 量级衰减，更平滑的信号可按 $1/n^2$ 或更快速度衰减。

十、傅里叶级数通过 LTI 系统

若

$$ x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_ne^{jn\omega_0t}, $$

则通过频率响应为 $H(j\omega)$ 的 LTI 系统后：

$$ y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} X_nH(jn\omega_0)e^{jn\omega_0t}. $$

因此

$$ Y_n=X_nH(jn\omega_0). $$

输出仍是同基波频率的周期信号；系统只对每条谐波谱线进行幅度缩放和相位移动。

十一、本章复习清单

熟记三角形式与指数形式的分析、合成公式。
注意 $a_0$ 与 $a_0/2$ 两种教材约定。
会利用奇偶性、半波对称性减少计算。
会由矩形脉冲推导 Sa 型离散频谱。
理解周期、谱线间隔、脉宽和有效带宽的关系。
会用帕塞瓦尔定理计算平均功率。
会写出周期输入通过 LTI 系统后的谱系数 $Y_n=X_nH(jn\omega_0)$。

05 信号的傅里叶变换

[!summary] 本章主线当周期 $T\to\infty$ 时，傅里叶级数的谱线间隔趋于零，离散频谱过渡为连续频谱，于是得到非周期信号的傅里叶变换。

一、从傅里叶级数到傅里叶变换

当周期信号的周期不断增大：

$$ T\to\infty, \qquad \Delta\omega=\omega_0=\frac{2\pi}{T}\to0. $$

傅里叶级数系数本身趋于零，但单位频率间隔对应的频谱密度趋于连续函数 $X(j\omega)$。离散求和转化为积分，从而得到傅里叶变换对。

二、傅里叶变换对

分析公式：

$$ X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t},dt. $$

合成公式：

$$ x(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t},d\omega. $$

一般 $X(j\omega)$ 为复函数：

$$ X(j\omega)=|X(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}. $$

$|X(j\omega)|$：幅度频谱；
$\varphi(\omega)$：相位频谱。

常用充分收敛条件包括绝对可积、有限区间内只有有限个极值和有限个有限间断点。部分不满足绝对可积的信号仍可在广义函数意义下拥有傅里叶变换，例如直流、阶跃和周期信号。

三、傅里叶级数与傅里叶变换的区别

项目	傅里叶级数 FS	傅里叶变换 FT
主要对象	连续周期信号	连续非周期信号
频率变量	$n\omega_0$	连续 $\omega$
频谱	离散谱线	连续频谱密度
合成方式	求和	积分
基本系数	$X_n$	$X(j\omega)$

若截取周期信号的一个周期形成有限时长信号 $x_1(t)$，其 FT 为 $X_1(j\omega)$，则周期延拓后的 FS 系数满足

$$ X_n=\frac1T X_1(jn\omega_0). $$

即傅里叶级数系数等于单周期频谱在谐波频率处的抽样，再除以周期。

四、常用傅里叶变换对

以下均采用本章的角频率约定。

1. 矩形脉冲

若

$$ x(t)= \begin{cases} A,&|t|\le \tau/2,\ 0,&|t|>\tau/2, \end{cases} $$

则

$$ X(j\omega)=A\tau\operatorname{Sa}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right). $$

时域越窄，频域越宽；时域有限长，频谱一般无限延伸。

2. 单边指数

$$ e^{-at}u(t) \longleftrightarrow \frac{1}{a+j\omega},\qquad a>0. $$

3. 双边指数

$$ e^{-a|t|} \longleftrightarrow \frac{2a}{a^2+\omega^2},\qquad a>0. $$

4. 冲激与直流

$$ \delta(t)\longleftrightarrow1, $$

$$ 1\longleftrightarrow2\pi\delta(\omega). $$

冲激在时域无限窄，频谱覆盖所有频率且幅度相等；直流在时域无限宽，频谱集中在零频率。

5. 符号与阶跃函数

在广义函数意义下：

$$ \operatorname{sgn}(t) \longleftrightarrow \frac{2}{j\omega}, $$

$$ u(t) \longleftrightarrow \pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}. $$

这里 $1/(j\omega)$ 按主值分布理解。阶跃包含 $1/2$ 的直流分量，因此频谱中必须有 $\pi\delta(\omega)$，不能遗漏。

6. 正弦与余弦

$$ \cos(\omega_0t) \longleftrightarrow \pi\left[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\right], $$

$$ \sin(\omega_0t) \longleftrightarrow j\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)\right]. $$

五、傅里叶变换性质

设

$$ x(t)\longleftrightarrow X(j\omega). $$

1. 线性

$$ ax_1(t)+bx_2(t) \longleftrightarrow aX_1(j\omega)+bX_2(j\omega). $$

2. 对偶性

$$ x(t)\longleftrightarrow X(j\omega) \quad\Longrightarrow\quad X(t)\longleftrightarrow2\pi x(-\omega). $$

3. 尺度变换

$$ x(at) \longleftrightarrow \frac1{|a|}X\left(j\frac{\omega}{a}\right). $$

时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩。

4. 时移

$$ x(t-t_0) \longleftrightarrow X(j\omega)e^{-j\omega t_0}. $$

时移不改变幅度谱，只增加线性相位。

5. 频移（调制）

$$ x(t)e^{j\omega_0t} \longleftrightarrow X[j(\omega-\omega_0)]. $$

乘余弦后：

$$ x(t)\cos(\omega_0t) \longleftrightarrow \frac12X[j(\omega-\omega_0)] +\frac12X[j(\omega+\omega_0)]. $$

即原频谱向左右各搬移 $\omega_0$，每份幅度减半。

6. 时域微分

$$ \frac{d^nx(t)}{dt^n} \longleftrightarrow (j\omega)^nX(j\omega). $$

微分对高频赋予更大权重，因此能突出快速变化，也更容易放大高频噪声。

7. 频域微分

$$ t^nx(t) \longleftrightarrow j^n\frac{d^nX(j\omega)}{d\omega^n}. $$

8. 时域积分

若

$$ y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau),d\tau, $$

则一般需要写成

$$ Y(j\omega)=\frac{X(j\omega)}{j\omega} +\pi X(0)\delta(\omega). $$

当 $X(0)=\int x(t)dt=0$ 时，冲激项消失。

9. 时域卷积

$$ x_1(t)*x_2(t) \longleftrightarrow X_1(j\omega)X_2(j\omega). $$

10. 时域相乘

$$ x_1(t)x_2(t) \longleftrightarrow \frac1{2\pi}X_1(j\omega)*X_2(j\omega). $$

[!important] 对称记忆时域卷积 ↔ 频域相乘；时域相乘 ↔ 频域卷积并乘 $1/(2\pi)$。

六、实信号的频谱对称性

若 $x(t)$ 为实信号，则具有共轭对称性：

$$ X(-j\omega)=X^*(j\omega). $$

因此：

实部 $\operatorname{Re}X$ 是偶函数；
虚部 $\operatorname{Im}X$ 是奇函数；
幅度谱 $|X|$ 是偶函数；
相位谱 $\arg X$ 是奇函数（忽略相位跳变约定）。

若 $x(t)$ 是实偶信号，则 $X(j\omega)$ 为实偶函数：

$$ X(j\omega)=2\int_0^{\infty}x(t)\cos(\omega t),dt. $$

若 $x(t)$ 是实奇信号，则 $X(j\omega)$ 为纯虚奇函数：

$$ X(j\omega)=-2j\int_0^{\infty}x(t)\sin(\omega t),dt. $$

七、帕塞瓦尔定理与能量谱密度

非周期能量信号满足

$$ \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt =\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(j\omega)|^2d\omega. $$

以角频率为变量时，可定义能量谱密度

$$ G_x(\omega)=\frac1{2\pi}|X(j\omega)|^2. $$

时域总能量等于频域能量谱密度的积分。

八、周期信号的傅里叶变换

虽然周期信号不绝对可积，但可以在广义函数意义下求 FT。若

$$ x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_ne^{jn\omega_0t}, $$

则

$$ \mathcal F{x(t)} =2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty} X_n\delta(\omega-n\omega_0). $$

即周期信号的 FT 是位于各谐波频率处的冲激串，冲激强度为对应 FS 系数的 $2\pi$ 倍。

九、LTI 系统的频域分析

若

$$ y(t)=h(t)*x(t), $$

则

$$ Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega). $$

$H(j\omega)$ 描述系统对不同频率分量的幅度缩放和相位移动。滤波的本质就是设计 $H(j\omega)$：

在希望保留的频段令 $|H|$ 较大；
在希望抑制的频段令 $|H|$ 接近零。

十、时间—带宽关系

尺度性质揭示了基本规律：

信号在时域越集中，频域通常越分散；
信号在时域越宽，频域通常越窄；
要缩短信号持续时间，通常必须占用更宽频带。

矩形脉冲与 Sa 频谱是这一规律的典型例子。

十一、本章复习清单

熟记 FT 与逆 FT 的 $2\pi$ 约定。
熟记矩形、单/双边指数、冲激、直流、阶跃、正弦和余弦的变换对。
使用尺度性质时不要漏掉 $1/|a|$。
时移只改相位，频移搬移频谱。
分清时域卷积和时域相乘各自对应的频域运算。
阶跃频谱必须含 $\pi\delta(\omega)$。
会利用实信号的共轭对称性判断频谱奇偶虚实性质。
会由 FS 系数写周期信号的冲激型 FT。
会用 $Y=HX$ 解释滤波器作用。

傅里叶分析总对照

信号类别	分析工具	频谱形态	基本表达
连续周期信号	傅里叶级数 FS	离散谱线	$x(t)=\sum X_ne^{jn\omega_0t}$
连续非周期信号	傅里叶变换 FT	连续频谱	$x(t)=\frac1{2\pi}\int X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$
周期信号的 FT	广义傅里叶变换	冲激谱线	$2\pi\sum X_n\delta(\omega-n\omega_0)$

本次材料来源

03-系统的时域分析.pdf；
04-信号的傅里叶级数.pdf；
05-信号的傅里叶变换.pdf。